பெருக்கல் (நெடுக்காக மற்றும் குறுக்காக - Vertically and Crosswise)

நாம் காலங்காலமாக பள்ளிகளிலும், கல்லூரிகளிலும் கீழ்கண்ட பெருக்கல் முறையைதான் பயன்படுத்தி வருகிறோம்.

வழக்கமான முறை

           411  x 201
----------------------
          411
        000
      822
----------------------
      82611
----------------------
இதையே "நெடுக்காக மற்றும் குறுக்காக" சூத்திரம் மூலமாக மிக எளிதாக, வேகமாக கணக்கிட முடியும்.
 

உதாரணம் 1:  61 x 31 இரண்டு எண்களை பெருக்குவதாக கொள்வோம்.

            6 1
            3 1 x
------------------------------------
(3x6) : (3x1)+(1x6) : (1x1)

18 : 9 : 1

=1891
 

வழிமுறை:

படி 1 : மேலிருந்து கீழாக நெடுக்காக உள்ள வலபக்க இலக்கங்களை பெருக்கவும், அதாவது (1x1)=1.
படி 2 : மேலேயுள்ள இரு இலக்கங்களை அதன் குறுக்குவாட்டில் உள்ள இலக்கங்களோடு பெருக்கி அதன் கூடுதலை கானவும்,அதாவது (3x1) + (1x6) = 9
படி 3 : நெடுக்காக உள்ள இடப்பக்க இலக்கங்களை பெருக்கவும், அதாவது (3x6) =18 எனவே, 61 x 31 = 1891

---

உதாரணம் 2: 13 x 14 இரண்டு எண்களை பெருக்குவதாக கொள்வோம்.

            1 3
            1 4 x
------------------------------------
(1x1) : (1x3)+(4x1) : (4x3)

1 : 7 : 12

=182

வழிமுறை:

படி 1 : முதலில்நெடுக்காக உள்ள வலபக்க இலக்கங்களை பெருக்கவும். (4x3)=12. இதில் , 2 ஐ விட்டுவிட்டு மீதி 1 ஐ அடுத்த எண்ணிற்கு carry over செய்ய வேண்டும்.
படி 2 : குறுக்குவாட்டில் உள்ள இலக்கங்களை பெருக்கி கூட்டவும்.அத்துடன் carry over செய்த 1 ஐ கூட்டவும். (1x3)+(4x1) = 3 + 4 = 7
படி 3 : நெடுக்காக உள்ள இடப்பக்க இலக்கங்களை பெருக்கவும். (1x1)=1 எனவே,   13 x 14 = 182
இதே முறையை பயன்படுத்தி மூன்று மற்றும் அதற்கு மேற்பட்ட இலக்கங்களை கொண்ட எண்களுக்கான பெருக்கல் பலனை சுலபமாக காணலாம்.

---

உதாரணம் 3:411 x 301 இரண்டு எண்களை பெருக்குவதாக கொள்வோம்.

            4 1 1
            2 0 1 x
---------------------------------------------------------------------------------
(2x4) : (0x4) + (2x1) : (1x4) + (0x1)+ (2x1) : (1x1)+(0x1) : (1x1)

8 : 2 :  6 : 1 : 1

=82611

வழிமுறை:

படி 1 : நெடுக்காக உள்ள வலபக்க இலக்கங்களை பெருக்கவும் (1x1) =1.
படி 2 : குறுக்குவாட்டில் உள்ள இலக்கங்களை பெருக்கி கூட்டவும் 1x1)+(0x1) =1
படி 3 : குறுக்கு மற்றும் நெடுக்காக உள்ள இலக்கங்களை பெருக்கி கூட்டவும்
(1x4) + (0x1)+ (2x1)  = 6 படி 4 : குறுக்குவாட்டில் உள்ள இலக்கங்களை பெருக்கி கூட்டவும் (2x1) : (1x4)  = 2
.
படி 5 : நெடுக்காக உள்ள இடப்பக்க இலக்கங்களை பெருக்கவும் (2x4) = 8
எனவே, 411 x 201 = 82611

---

உதாரணம் 4: 301 x 232 இரண்டு எண்களை பெருக்குவதாக கொள்வோம்.

           301
           232 x
---------------------------------------------------------------------------------
(2x3) : (3x3) +(2x0) : (2x3) +(3x0) +(2x1) : (2x0)+(3x1) : (2x1)

6 : 9 : 8 : 3 : 2

=69832

வழிமுறை:

படி 1 : நெடுக்காக உள்ள வலபக்க இலக்கங்களை பெருக்கவும். (1x2) = 2.
படி 2 : குறுக்குவாட்டில் உள்ள இலக்கங்களை பெருக்கி கூட்டவும்.(2x0)+(3x1) = 3
படி 3 : குறுக்கு மற்றும் நெடுக்காக உள்ள இலக்கங்களை பெருக்கி கூட்டவும்.(2x3) +(3x0) +(2x1) = 8
படி 4 : குறுக்குவாட்டில் உள்ள இலக்கங்களை பெருக்கி கூட்டவும். (3x3) +(2x0) = 9
படி 5 : நெடுக்காக உள்ள இடப்பக்க இலக்கங்களை பெருக்கவும். (2x3) = 6
எனவே,301 x 232 = 69832

---

உதாரணம் 5: 0.0812 x 0.032 இரண்டு எண்களை பெருக்குவதாக கொள்வோம்.

           00812
           00032 x
---------------------------------------------------------------------------------
(8x0) : (8x3) +(1x0) : (8x2) +(1x3) +(2x0) : (1x2)+(2x3) : (2x2)

0 : 24 : 19 : 8 : 4

=0.0025984

வழிமுறை:

படி 1 : நெடுக்காக உள்ள வலபக்க இலக்கங்களை பெருக்கவும். (2x2)=2
படி 2 :குறுக்குவாட்டில் உள்ள இலக்கங்களை பெருக்கி கூட்டவும்.(1x2)+(2x3)=8
படி 3 : குறுக்கு மற்றும் நெடுக்காக உள்ள இலக்கங்களை பெருக்கி கூட்டவும்.(8x2) +(1x3) +(2x0) =19. இதில் , 9 ஐ விட்டுவிட்டு மீதி 1 ஐ அடுத்த எண்ணிற்கு carry over செய்ய வேண்டும்.
படி 4 : குறுக்குவாட்டில் உள்ள இலக்கங்களை பெருக்கி கூட்டவும்.அத்துடன் carry over செய்த 1 ஐ கூட்டவும். (8x3) +(1x0)=24 + (1)= 25. இதில் , 5 ஐ விட்டுவிட்டு மீதி 2 ஐ அடுத்த எண்ணிற்கு carry over செய்ய வேண்டும்..
படி 5 : நெடுக்காக உள்ள இடப்பக்க இலக்கங்களை பெருக்கவும். அத்துடன் carry over செய்த 1 ஐ கூட்டவும். (8x0)=0 + (2) = 2
எனவே ஏழு தசமத்தை தாண்டி புள்ளி வைக்கவும், 0.0812 x 0.032 = 0.0025984

---

உதாரணம் 6:302 x 811 இரண்டு எண்களை பெருக்குவதாக கொள்வோம்.

இங்கு,302 என்ற மூன்றிலக்க எண்ணை 3 ஐ ஒரு இலக்கமாகவும், 02 ஐ ஒரு இலக்கமாகவும் கொண்டு 3(02) என இரண்டிலக்க எண்ணாக மாற்றிகொள்வோம்.
அதே போல், 811 என்ற மூன்றிலக்க எண்ணை 8 ஐ ஒரு இலக்கமாகவும், 11 ஐ ஒரு இலக்கமாகவும் கொண்டு 8(11) என இரண்டிலக்க எண்ணாக மாற்றிகொள்வோம்.

           3(02)
           8(11) x
----------------------------------------
(8x3) : (11x3)+(8x02) : (11x02)

24 : 49 : 22

=244922

வழிமுறை:

படி 1 : நெடுக்காக உள்ள வலபக்க இலக்கங்களை பெருக்கவும். (11x02)=22
படி 2 :குறுக்குவாட்டில் உள்ள இலக்கங்களை பெருக்கி கூட்டவும்.(11x3)+(8x02)=49
படி 3 : நெடுக்காக உள்ள இடப்பக்க இலக்கங்களை பெருக்கவும். (8x3)=24 எனவே,302 x 811 = 244922.

Algebraic proof :

Two Digit Number

Let the two numbers be (ax+b) and (cx+d). Note that x = 10.
Now consider the product ,
(ax + b) (cx + d) = ac.x² + adx + bcx + b.d
= ac.x² + (ad + bc)x + b.d

Three Digit Number

Let the two numbers be (ax² + bx + c) and (dx² + ex + f). Note that x=10
Now consider the product ,
ax² + bx + c
x dx² + ex + f
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
ad.x4+bd.x³+cd.x²+ae.x³+be.x²+ce.x+af.x²+bf.x+cf
= ad.x⁴ + (bd + ae). x³ + (cd + be + af).x² + (ce + bf)x + cf

நான்கால் வகுபடும் தன்மை

ஓர் எண் 4 ஆல் வகுபடுமா, இல்லையா என்பதை கீழ்கண்ட, மூன்று வழிகளில் காணமுடியும்.
   அ. சாதாரண முறை
   ஆ. சுலப முறை
   இ. வேத கணித முறை ("கடைசி மற்றும் கடைசிக்கு முன்னர் இருமடங்கு")

அ.சாதாரண முறை:

உதாரணம் 1: எண் 12345678, நான்கால் வகுபடுமா?

12345678 என்ற எண்ணை சாதாரண முறையில் 4 ஆல் வகுத்து மீதி வரவில்லையெனில் அவ்வெண் 4 ஆல் வகுபடும்.

வழிமுறை :

ஈவு 3086419 மீதி 2, எனவே 12345678 ஆனது 4 ஆல் வகுபடாது.

---

ஆ.சுலப முறை

உதாரணம் 1: எண் 12345678, நான்கால் வகுபடுமா?

எண்ணின் கடைசி இரண்டு இலக்கமானது 4 ஆல் வகுப்பட்டால் அவ்வெண்ணானது 4 ஆல் வகுபடும்
இங்கு, 12345678 ன் கடைசி இரண்டு இலக்கம் 78 ஆகும், 78 ஆனது 4 ஆல் வகுப்படவில்லை, எனவே 12345678 என்ற எண் 4 ஆல் வகுபடாது.

---

இ.வேதகணித முறை ("கடைசி மற்றும் கடைசிக்கு முன்னர் இருமடங்கு")

"கடைசி மற்றும் கடைசிக்கு முன்னர் இருமடங்கு" என்ற சூத்திரமூலமாக எவ்வளவு பெரிய எண்ணாக இருந்தாலும், அவ்வெண்ணானது 4 ஆல் வகுப்படுமா இல்லையா என்பதை சுலபமாக கண்டறிய முடியும்.

வழிமுறை :

ஓர் எண்ணின் கடைசி இலக்கத்தையும், அதற்கு முன்னர் உள்ள இலக்கதின் இருமடங்கையும் கூட்டி 4 ஆல் வகுத்து மீதி பூஜ்ஜியம் வந்தால், அவ்வெண்ணானது நான்கால் வகுப்படும்.

உதாரணம் 1: எண் 9447968792, நான்கால் வகுபடுமா?

எண் 9447968792 ன் கடைசி இலக்கமானது 2 ஆகும். அத்துடன் கடைசிக்கு முன்னர் உள்ள 9 இன் இருமடங்கான 18 ஐக் கூட்ட, (18+2=20) 20 வருகிறது. இந்த 20 ஆனது 4 ஆல் வகுபடும். எனவே 9447968792 ஆனது 4 ஆல் வகுபடும்.

உதாரணம் 2: எண் 999939283229849781, நான்கால் வகுபடுமா?

எண் 999939283229849781 ன் கடைசி இலக்கமானது 1 ஆகும். அத்துடன் கடைசிக்கு முன்னர் உள்ள 8 ன் இருமடங்கான 16 யும் கூட்ட (16+1=17) 17 வருகிறது. இந்த 17 ஆனது 4 ஆல் வகுபடாது. எனவே 999939283229849781 ஆனது 4 ஆல் வகுபடாது.